\(y'=x^2-mx+2m\)

Hàm nghịch biến trên 1 đoạn có độ dài 3 khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn:

\(\left|x_1-x_2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=m^2-8m>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>8\end{matrix}\right.\\m^2-8m=9\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=9\end{matrix}\right.\)

Theo mình:

để hàm số đồng biến, đk cần là y'=0.

a>0 và \(\Delta'< 0\)

nghịch biến thì a<0 

vì denta<0 thì hầm số cùng dấu với a

mình giải được câu a với b

câu c có hai cực trị thì a\(\ne\)0, y'=0, denta>0 (để hàm số có hai nghiệm pb) 

câu d dùng viet

câu e mình chưa chắc lắm ^^

a: \(y=-x^3-\left(m+1\right)x^2+3\left(m+1\right)x\)

=>\(y'=-3x^2-\left(m+1\right)\cdot2x+3\left(m+1\right)\)

=>\(y'=-3x^2+x\cdot\left(-2m-2\right)+\left(3m+3\right)\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-2m-2\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(3m+3\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(4m^2+8m+4+12\left(3m+3\right)< =0\)

=>\(4m^2+8m+4+36m+36< =0\)

=>\(4m^2+44m+40< =0\)

=>\(m^2+11m+10< =0\)

=>\(\left(m+1\right)\left(m+10\right)< =0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>=0\\m+10< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=-1\\m< =-10\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1< =0\\m+10>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =-1\\m>=-10\end{matrix}\right.\)

=>-10<=m<=-1

b: \(y=-\dfrac{1}{3}x^3+mx^2-\left(2m+3\right)x\)

=>\(y'=-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+m\cdot2x-\left(2m+3\right)\)

=>\(y'=-x^2+2m\cdot x-\left(2m+3\right)\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1< 0\\\left(2m\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-2m-3\right)< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(4m^2+4\left(-2m-3\right)< =0\)

=>\(m^2-2m-3< =0\)

=>(m-3)(m+1)<=0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m-3>=0\\m+1< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=3\\m< =-1\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m-3< =0\\m+1>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =3\\m>=-1\end{matrix}\right.\)

=>-1<=m<=3

\(y'=-x^2+2\left(m-2\right)x-m^2+3m\)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-m^2+3m=4-m\)

TH1: \(\Delta'\le0\Rightarrow m\ge4\Rightarrow y'\le0\) ; \(\forall x\) hàm nghịch biến trên R (thỏa mãn)

TH2: \(m< 4\) , bài toán thỏa mãn khi:

\(x_1< x_2\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\ge0\\x_1+x_2< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m-\left(2m-4\right)+1\ge0\\2m-4< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-5m+5\ge0\\m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\m\le\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(y'=-x^2+2mx+m-2\Rightarrow\Delta'=m^2+m-2\)

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 <=> phương trình y' =0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)  và thỏa mãn :

\(\left|x_1-x_2\right|=4\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0\\\left|x_1-x_2\right|=4\end{cases}\)

                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=16\end{cases}\)

                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\4m^2+4\left(m-2\right)=16\end{cases}\)

                    \(\Leftrightarrow m=2\) hoặc \(m=-3\)

Kết luận  \(m=2\) hoặc \(m=-3\) thì hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4

3.

\(y'=\dfrac{3m-1}{\left(x+3m\right)^2}\)

Hàm nghịch biến trên khoảng đã cho khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}3m-1< 0\\-3m\le6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{3}\\m\ge-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-2\le m< \dfrac{1}{3}\Rightarrow m=\left\{-2;-1;0\right\}\)

4.

\(y'=\dfrac{3m-2}{\left(x+3m\right)^2}\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}3m-2>0\\-3m\ge-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{2}{3}\\m\le2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}< m\le2\Rightarrow m=\left\{1;2\right\}\)